Giải tích Ví dụ

$lim_{r \to - \frac{3}{2}} \frac{\sqrt{31 - 12 r^{2}}}{16 r^{3} + 10}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $r$ tiến dần đến $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{lim_{r \to - \frac{3}{2}} \sqrt{31 - 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Bước 2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 31 - 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $r$ tiến dần đến $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 31 - lim_{r \to - \frac{3}{2}} 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Bước 4

Tính giới hạn của $31$ mà không đổi khi $r$ tiến dần đến $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{31 - lim_{r \to - \frac{3}{2}} 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Bước 5

Chuyển số hạng $12$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $r$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 lim_{r \to - \frac{3}{2}} r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Bước 6

Đưa số mũ $2$ từ $r^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $r$ tiến dần đến $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

Bước 8

Chuyển số hạng $16$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $r$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 lim_{r \to - \frac{3}{2}} r^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

Bước 9

Đưa số mũ $3$ từ $r^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

Bước 10

Tính giới hạn của $10$ mà không đổi khi $r$ tiến dần đến $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + 10}$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $- \frac{3}{2}$ cho tất cả các lần xảy ra của $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $r$ bằng cách điền vào $- \frac{3}{2}$ cho $r$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + 10}$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $r$ bằng cách điền vào $- \frac{3}{2}$ cho $r$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Bước 12.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Bước 12.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Bước 12.1.3

Nhân $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Bước 12.1.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 \frac{9}{2^{2}}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Bước 12.1.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 (\frac{9}{4})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Bước 12.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 12$ .

$\frac{\sqrt{31 + 4 (- 3) \frac{9}{4}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Bước 12.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{31 + 4 \cdot - 3 \frac{9}{4}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Bước 12.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{31 - 3 \cdot 9}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Bước 12.1.7

Nhân $- 3$ với $9$ .

$\frac{\sqrt{31 - 27}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Bước 12.1.8

Trừ $27$ khỏi $31$ .

$\frac{\sqrt{4}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Bước 12.1.9

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Bước 12.1.10

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{2}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Bước 12.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 10}$

Bước 12.2.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{16 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 10}$

Bước 12.2.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{2}{16 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 10}$

Bước 12.2.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{2}{16 (- \frac{27}{2^{3}}) + 10}$

Bước 12.2.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{2}{16 (- \frac{27}{8}) + 10}$

Bước 12.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{27}{8}$ vào tử số.

$\frac{2}{16 (\frac{- 27}{8}) + 10}$

Bước 12.2.5.2

Đưa $8$ ra ngoài $16$ .

$\frac{2}{8 (2) \frac{- 27}{8} + 10}$

Bước 12.2.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{8 \cdot 2 \frac{- 27}{8} + 10}$

Bước 12.2.5.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{2 \cdot - 27 + 10}$

Bước 12.2.6

Nhân $2$ với $- 27$ .

$\frac{2}{- 54 + 10}$

Bước 12.2.7

Cộng $- 54$ và $10$ .

$\frac{2}{- 44}$

Bước 12.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $- 44$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{- 44}$

Bước 12.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 44$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 22}$

Bước 12.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 22}$

Bước 12.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{- 22}$

Bước 12.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{22}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{1}{22}$

Dạng thập phân:

$- 0.0\overline{45}$