Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{6} \frac{9}{4 \sqrt[4]{3 x - 2}} d x$

Bước 1

Vì $\frac{9}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{9}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{9}{4} \int_{1}^{6} \frac{1}{\sqrt[4]{3 x - 2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 3 x - 2$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 3 x - 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$3 + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $3$ và $0$ .

$3$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 3 x - 2$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 1 - 2$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $3$ với $1$ .

$u_{lower} = 3 - 2$

Bước 2.3.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 3 x - 2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 6 - 2$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân $3$ với $6$ .

$u_{upper} = 18 - 2$

Bước 2.5.2

Trừ $2$ khỏi $18$ .

$u_{upper} = 16$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt[4]{u}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u} \cdot 3} d u$

Bước 3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sqrt[4]{u}$ .

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{3 \sqrt[4]{u}} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{9}{4} (\frac{1}{3} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u)$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Bước 5.1.2

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{9}{12} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Bước 5.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{3 (3)}{12} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Bước 5.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Bước 5.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Bước 5.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Bước 5.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Bước 5.2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{4}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

Bước 5.2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

Bước 5.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $- 1$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{\frac{- 1}{4}} d u$

Bước 5.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{- \frac{1}{4}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{4}}$ đối với $u$ là $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4} \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}]_{1}^{16}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ tại $16$ và tại $1$ .

$\frac{3}{4} ((\frac{4}{3} \cdot 16^{\frac{3}{4}}) - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Viết lại $16$ ở dạng $2^{4}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot {(2^{4})}^{\frac{3}{4}} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Bước 7.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Bước 7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Bước 7.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Bước 7.2.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Bước 7.2.5

Kết hợp $\frac{4}{3}$ và $8$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 \cdot 8}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Bước 7.2.6

Nhân $4$ với $8$ .

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Bước 7.2.7

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1)$

Bước 7.2.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3})$

Bước 7.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{32 - 4}{3}$

Bước 7.2.10

Trừ $4$ khỏi $32$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{28}{3}$

Bước 7.2.11

Nhân $\frac{3}{4}$ với $\frac{28}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 28}{4 \cdot 3}$

Bước 7.2.12

Nhân $3$ với $28$ .

$\frac{84}{4 \cdot 3}$

Bước 7.2.13

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{84}{12}$

Bước 7.2.14

Triệt tiêu thừa số chung của $84$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.14.1

Đưa $12$ ra ngoài $84$ .

$\frac{12 \cdot 7}{12}$

Bước 7.2.14.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.14.2.1

Đưa $12$ ra ngoài $12$ .

$\frac{12 \cdot 7}{12 (1)}$

Bước 7.2.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 \cdot 7}{12 \cdot 1}$

Bước 7.2.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{7}{1}$

Bước 7.2.14.2.4

Chia $7$ cho $1$ .

$7$

Bước 8