Giải tích Ví dụ

$y = e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = \cos (2 t) + 2 \sin (2 t)$ .

$e^{t} \frac{d}{d t} [\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)] + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [\cos (2 t)] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]$ .

$e^{t} (\frac{d}{d t} [\cos (2 t)] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \cos (t)$ và $g (t) = 2 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 t$ .

$e^{t} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$e^{t} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 t$ .

$e^{t} (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{t} (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 4.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 4.5

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 \sin (2 t)$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \sin (t)$ và $g (t) = 2 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 t$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t])) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 5.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 t])) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 t$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 (\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t])) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 \cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 6.2

Nhân $2$ với $2$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 4 \cos (2 t) \frac{d}{d t} [t]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 6.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 4 \cos (2 t) \cdot 1) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 6.4

Nhân $4$ với $1$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 4 \cos (2 t)) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ là $a^{t} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 4 \cos (2 t)) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) e^{t}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{t} (- 2 \sin (2 t)) + e^{t} (4 \cos (2 t)) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) e^{t}$

Bước 8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{t} (- 2 \sin (2 t)) + e^{t} (4 \cos (2 t)) + \cos (2 t) e^{t} + 2 \sin (2 t) e^{t}$

Bước 8.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Sắp xếp lại $\cos (2 t)$ và $e^{t}$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t)) + 4 \cdot e^{t} \cos (2 t) + e^{t} \cos (2 t) + 2 \sin (2 t) e^{t}$

Bước 8.3.2

Cộng $4 e^{t} \cos (2 t)$ và $e^{t} \cos (2 t)$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t)) + 5 e^{t} \cos (2 t) + 2 \sin (2 t) e^{t}$

Bước 8.3.3

Di chuyển $\sin (2 t)$ .

$5 e^{t} \cos (2 t) - 2 \cdot e^{t} \sin (2 t) + 2 e^{t} \sin (2 t)$

Bước 8.3.4

Cộng $- 2 e^{t} \sin (2 t)$ và $2 e^{t} \sin (2 t)$ .

$5 e^{t} \cos (2 t) + 0$

Bước 8.3.5

Cộng $5 e^{t} \cos (2 t)$ và $0$ .

$5 e^{t} \cos (2 t)$