Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x + 5) (x - 5)}{13 (x + 3) (x + 5)}$

Bước 1

Triệt tiêu thừa số chung $x + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x + 5) (x - 5)}{13 (x + 3) (x + 5)}$

Bước 1.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x - 5)}{13 (x + 3)}$

Bước 2

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 2) (x - 5)}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Bước 2.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x (x - 5) + 2 (x - 5)}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Bước 2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 5 + 2 (x - 5)}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Bước 2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 5 + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Bước 2.1.2.4

Sắp xếp lại $x$ và $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x - 5 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Bước 2.1.2.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Bước 2.1.2.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{1} - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Bước 2.1.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 1} - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Bước 2.1.2.8

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.8.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Bước 2.1.2.8.2

Nhân $2$ với $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 5 x + 2 x - 10}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Bước 2.1.2.8.3

Cộng $- 5 x$ và $2 x$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 3 x - 10}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Bước 2.1.2.9

Giới hạn tại vô cực âm của một đa thức bậc chẵn có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Bước 2.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 13 x + 13 \cdot 3}$

Bước 2.1.3.1.2

Nhân $13$ với $3$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 13 x + 39}$

Bước 2.1.3.2

Giới hạn ở vô cực âm của một đa thức bậc lẻ có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực âm.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Bước 2.1.3.3

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{- \infty}$

Bước 2.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{- \infty}$

Bước 2.2

Vì $\frac{\infty}{- \infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x - 5)}{13 (x + 3)} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x + 2$ và $g (x) = x - 5$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Bước 2.3.5

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Bước 2.3.6

Cộng $1$ và $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Bước 2.3.7

Nhân $x + 2$ với $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Bước 2.3.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Bước 2.3.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Bước 2.3.10

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Bước 2.3.11

Cộng $1$ và $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Bước 2.3.12

Nhân $x - 5$ với $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + x - 5}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Bước 2.3.13

Cộng $x$ và $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 2 - 5}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Bước 2.3.14

Trừ $5$ khỏi $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Bước 2.3.15

Vì $13$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $13 (x + 3)$ đối với $x$ là $13 \frac{d}{d x} [x + 3]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 \frac{d}{d x} [x + 3]}$

Bước 2.3.16

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}$

Bước 2.3.17

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 (1 + \frac{d}{d x} [3])}$

Bước 2.3.18

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 (1 + 0)}$

Bước 2.3.19

Cộng $1$ và $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 \cdot 1}$

Bước 2.3.20

Nhân $13$ với $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13}$

Bước 3

Tách phân số $\frac{2 x - 3}{13}$ thành hai phân số.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{13} + \frac{- 3}{13}$

Bước 4

Giới hạn ở vô cực âm của một đa thức bậc lẻ có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực âm.

$- \infty$