Giải tích Ví dụ

$y = - \frac{2}{3} x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3}{10} x^{5} - 3$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{2}{3} x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3}{10} x^{5} - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- \frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{2}{3} x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.2.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $- 3$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.2.5

Nhân $- 3$ với $2$ .

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.2.6

Kết hợp $\frac{- 6}{3}$ và $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 6 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.2.7.2.4

Chia $- 2 x^{2}$ cho $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 2 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $\frac{3}{10}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3}{10} x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.4.3

Kết hợp $5$ và $\frac{3}{10}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.4.4

Nhân $5$ với $3$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.4.5

Kết hợp $\frac{15}{10}$ và $x^{4}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.4.6

Triệt tiêu thừa số chung của $15$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.1

Đưa $5$ ra ngoài $15 x^{4}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.4.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $10$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.4.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.4.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.5

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3 x^{4}}{2} + 0$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Cộng $- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3 x^{4}}{2}$ và $0$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3 x^{4}}{2}$

Bước 1.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} - 2 x^{2} + 6 x$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{3 x^{4}}{2} - 2 x^{2} + 6 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $\frac{3}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3 x^{4}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.2.4

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.2.5

Kết hợp $\frac{12}{2}$ và $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.2.6.2.4

Chia $6 x^{3}$ cho $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x^{2}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $- 2$ .

$6 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{3} - 4 x + 6 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 x^{3} - 4 x + 6 \cdot 1$

Bước 2.4.3

Nhân $6$ với $1$ .

$f'' (x) = 6 x^{3} - 4 x + 6$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x^{3} - 4 x + 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{3}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 3.2.3

Nhân $3$ với $6$ .

$18 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$18 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 3.3.3

Nhân $- 4$ với $1$ .

$18 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $6$ đối với $x$ là $0$ .

$18 x^{2} - 4 + 0$

Bước 3.4.2

Cộng $18 x^{2} - 4$ và $0$ .

$f''' (x) = 18 x^{2} - 4$