Giải tích Ví dụ

$\int \frac{4 (x^{3} + 3)}{{(x^{4} + 12 x)}^{3}} d x$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int \frac{x^{3} + 3}{{(x^{4} + 12 x)}^{3}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x^{4} + 12 x$ . Sau đó $d u = (4 x^{3} + 12) d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = (x^{3} + 3) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x^{4} + 12 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x^{4} + 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 12 x]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} + 12 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [12 x]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 x^{3} + 12 \cdot 1$

Bước 2.1.3.3

Nhân $12$ với $1$ .

$4 x^{3} + 12$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$4 \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{1}{u^{3}}$ với $\frac{1}{4}$ .

$4 \int \frac{1}{u^{3} \cdot 4} d u$

Bước 3.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $u^{3}$ .

$4 \int \frac{1}{4 u^{3}} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $4$ .

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 5.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 5.1.3

Nhân $\int \frac{1}{u^{3}} d u$ với $1$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 5.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Di chuyển $u^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Bước 5.2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{3 \cdot - 1} d u$

Bước 5.2.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\int u^{- 3} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 3}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$ ở dạng $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $\frac{1}{u^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{u^{2} \cdot 2} + C$

Bước 7.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u^{2}$ .

$- \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{4} + 12 x$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{4} + 12 x)}^{2}} + C$