Giải tích Ví dụ

$\ln (x^{2} + y^{2} + 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{2} + y^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.3

Vì $y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.4

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + 0)$

Bước 2.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x)$

Bước 2.6.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ .

$\frac{2}{x^{2} + y^{2} + 1} x$

Bước 2.6.3

Kết hợp $\frac{2}{x^{2} + y^{2} + 1}$ và $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + y^{2} + 1}$