Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\tan (x)}}$

Bước 1

Áp dụng các đẳng thức lượng giác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

Bước 1.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Bước 1.3

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$

Bước 2

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$ ở dạng $e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$

Bước 2.2

Khai triển $\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})$ bằng cách di chuyển $\cot (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

Bước 3

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

Bước 4

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

Bước 5

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ - 0.1 & - 0.04809658 \\ - 0.01 & - 0.00498308 \\ - 0.001 & - 0.00049983 \\ - 0.0001 & - 0.00004999 \end{array}$

Bước 6

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0$ . Cho nên, giới hạn của $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái là $0$ .

$0$

Bước 7

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

Bước 8

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ 0.1 & 0.05140391 \\ 0.01 & 0.00501641 \\ 0.001 & 0.00050016 \\ 0.0001 & 0.00005 \\ 0.00001 & 0.000005 \end{array}$

Bước 9

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0$ . Cho nên, giới hạn của $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải là $0$ .

$e^{0}$

Bước 10

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$1$