Giải tích Ví dụ

$\int \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \sin (\frac{x}{2})$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} d x$ , nên $- d u_{2} = \frac{- \cos (\frac{x}{2})}{2} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \sin (\frac{x}{2})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Bước 1.1.3.4

Nhân $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ với $1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int \frac{2}{1} u_{2} d u_{2}$

Bước 2

Chia $2$ cho $1$ .

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int u_{2} d u_{2}$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 {u_{2}}^{2} + C$

Bước 5.2.3

Nhân ${u_{2}}^{2}$ với $1$ .

${u_{2}}^{2} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\sin^{2} (\frac{x}{2}) + C$

Bước 7

Sắp xếp lại các số hạng.

$\sin^{2} (\frac{1}{2} x) + C$