Giải tích Ví dụ

$y = - 2 x^{4} \sqrt{4 x + 5}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{4 x + 5}$ ở dạng ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - 2 x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 3

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (x^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 4 x + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x + 5$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x + 5$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(4 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{{(4 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.8.3

Di chuyển ${(4 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.8.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x^{4}$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.10

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.12

Nhân $4$ với $1$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.13

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.14

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.14.1

Cộng $4$ và $0$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4 + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.14.2

Kết hợp $\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ và $4$ .

$- 2 (\frac{x^{4} \cdot 4}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.14.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x^{4}$ .

$- 2 (\frac{4 \cdot x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.14.4

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{4}$ .

$- 2 (\frac{2 (2 x^{4})}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.15

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.15.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (\frac{2 (2 x^{4})}{2 ({(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}})} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.15.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 (\frac{2 (2 x^{4})}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.15.3

Viết lại biểu thức.

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4.16

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (4 x^{3}))$

Bước 4.17

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 4 \cdot {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{3})$

Bước 4.18

Kết hợp $\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ và $4 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{3}$ bằng mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.18.1

Di chuyển ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 4.18.2

Để viết $4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 4.18.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.19

Nhân ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.19.1

Di chuyển ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} ({(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.19.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.19.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.19.4

Cộng $1$ và $1$ .

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{2}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.19.5

Chia $2$ cho $2$ .

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{1}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.20

Rút gọn $4 x^{3} {(4 x + 5)}^{1}$ .

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x + 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.21

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x + 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 (2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x + 5))}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.22

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 (2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x + 5))}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.23

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.23.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{2 (2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x) + 4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.23.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{2 (2 x^{4}) + 2 (4 x^{3} (4 x)) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.23.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.23.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.23.3.1.1

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 x^{3} (4 x)) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.23.3.1.2

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.23.3.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 (x \cdot x^{3}) \cdot 4) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.23.3.1.2.2

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.23.3.1.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 (x^{1} x^{3}) \cdot 4) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.23.3.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 x^{1 + 3} \cdot 4) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.23.3.1.2.3

Cộng $1$ và $3$ .

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 x^{4} \cdot 4) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.23.3.1.3

Nhân $4$ với $4$ .

$- \frac{4 x^{4} + 2 (16 x^{4}) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.23.3.1.4

Nhân $16$ với $2$ .

$- \frac{4 x^{4} + 32 x^{4} + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.23.3.1.5

Nhân $5$ với $4$ .

$- \frac{4 x^{4} + 32 x^{4} + 2 (20 x^{3})}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.23.3.1.6

Nhân $20$ với $2$ .

$- \frac{4 x^{4} + 32 x^{4} + 40 x^{3}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.23.3.2

Cộng $4 x^{4}$ và $32 x^{4}$ .

$- \frac{36 x^{4} + 40 x^{3}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.23.4

Đưa $4 x^{3}$ ra ngoài $36 x^{4} + 40 x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.23.4.1

Đưa $4 x^{3}$ ra ngoài $36 x^{4}$ .

$- \frac{4 x^{3} (9 x) + 40 x^{3}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.23.4.2

Đưa $4 x^{3}$ ra ngoài $40 x^{3}$ .

$- \frac{4 x^{3} (9 x) + 4 x^{3} (10)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.23.4.3

Đưa $4 x^{3}$ ra ngoài $4 x^{3} (9 x) + 4 x^{3} (10)$ .

$- \frac{4 x^{3} (9 x + 10)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - \frac{4 x^{3} (9 x + 10)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{3} (9 x + 10)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$