Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sin (π x)}$

Bước 1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Bước 1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Bước 1.2.1.2

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Bước 1.2.1.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Bước 1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Bước 1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Bước 1.2.3.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Bước 1.2.3.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 1} π x)}$

Bước 1.3.1.2

Chuyển số hạng $π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{0}{\sin (π lim_{x \to 1} x)}$

Bước 1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{0}{\sin (π \cdot 1)}$

Bước 1.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Nhân $π$ với $1$ .

$\frac{0}{\sin (π)}$

Bước 1.3.3.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{0}{\sin (0)}$

Bước 1.3.3.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sin (π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Bước 3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Bước 3.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Bước 3.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = π x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x]}$

Bước 3.6.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (u) \frac{d}{d x} [π x]}$

Bước 3.6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]}$

Bước 3.7

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $π x$ đối với $x$ là $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) (π \cdot 1)}$

Bước 3.9

Nhân $π$ với $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) π}$

Bước 3.10

Sắp xếp lại các thừa số của $\cos (π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{π \cos (π x)}$

Bước 4

Chuyển số hạng $\frac{2}{π}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2}{π} lim_{x \to 1} \frac{x}{\cos (π x)}$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \cos (π x)}$

Bước 6

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\cos (lim_{x \to 1} π x)}$

Bước 7

Chuyển số hạng $π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\cos (π lim_{x \to 1} x)}$

Bước 8

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $1$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{1}{\cos (π lim_{x \to 1} x)}$

Bước 8.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{1}{\cos (π \cdot 1)}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (π \cdot 1)}$ sang $\sec (π \cdot 1)$ .

$\frac{2}{π} \sec (π \cdot 1)$

Bước 9.2

Nhân $π$ với $1$ .

$\frac{2}{π} \sec (π)$

Bước 9.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì secant âm trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{2}{π} (- \sec (0))$

Bước 9.4

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$\frac{2}{π} (- 1 \cdot 1)$

Bước 9.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2}{π} \cdot - 1$

Bước 9.6

Nhân $\frac{2}{π} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1

Kết hợp $\frac{2}{π}$ và $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{π}$

Bước 9.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{- 2}{π}$

Bước 9.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{π}$