Giải tích Ví dụ

$h (x) = {\begin{cases} x^{2} + k^{2}, 0 \leq x \leq 2 \\ \frac{2 x + 4}{x - 1}, x > 2 \end{cases}$

Bước 1

Tìm giới hạn của $\frac{2 x + 4}{x - 1}$ khi $x$ tiến dần đến $2$ từ phía bên phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay đổi giới hạn hai bên thành giới hạn phải.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 x + 4}{x - 1}$

Bước 1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} 2 x + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1}$

Bước 1.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} 2 x + lim_{x \to 2^{+}} 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1}$

Bước 1.4

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2^{+}} x + lim_{x \to 2^{+}} 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1}$

Bước 1.5

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2^{+}} x + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1}$

Bước 1.6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2^{+}} x + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 1}$

Bước 1.7

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2^{+}} x + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 1}$

Bước 1.8

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $2$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 1}$

Bước 1.8.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 4}{2 - 1 \cdot 1}$

Bước 1.9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 + 4}{2 - 1 \cdot 1}$

Bước 1.9.1.2

Cộng $4$ và $4$ .

$\frac{8}{2 - 1 \cdot 1}$

Bước 1.9.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{8}{2 - 1}$

Bước 1.9.2.2

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{8}{1}$

Bước 1.9.3

Chia $8$ cho $1$ .

$8$

Bước 2

Tính $x^{2} + k^{2}$ tại $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

${(2)}^{2} + k^{2}$

Bước 2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$4 + k^{2}$

Bước 3

Vì giới hạn của $\frac{2 x + 4}{x - 1}$ khi $x$ tiến dần đến $2$ từ phía bên phải không bằng với giá trị hàm số tại $x = 2$ , nên hàm số này không liên tục tại $x = 2$ .

Không liên tục

Bước 4