Giải tích Ví dụ

$\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$

Bước 1

Viết $\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}} d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x^{4} + 4 x^{3} - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x^{4}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + 4 x^{3} - x}{x^{3}} d x$

Bước 4.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + x (4 x^{2}) - x}{x^{3}} d x$

Bước 4.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $- x$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + x (4 x^{2}) + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

Bước 4.1.4

Đưa $x$ ra ngoài $x (2 x^{3}) + x (4 x^{2})$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2}) + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

Bước 4.1.5

Đưa $x$ ra ngoài $x (2 x^{3} + 4 x^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x^{3}} d x$

Bước 4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Bước 4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 5.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 5.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

Bước 6

Khai triển $(2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2}) x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 2 x^{3} x^{- 2} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 2 x^{3 - 2} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.4

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\int 2 x^{1} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.5

Rút gọn.

$\int 2 x + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 2 x + 4 x^{2 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.7

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\int 2 x + 4 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.8

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\int 2 x + 4 \cdot 1 - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.9

Nhân $4$ với $1$ .

$\int 2 x + 4 - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.10

Di chuyển $4$ .

$\int 2 x - 1 x^{- 2} + 4 d x$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Bước 8

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + \int 4 d x$

Bước 12

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + 4 x + C$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + 4 x + C$

Bước 13.2

Rút gọn.

$x^{2} + \frac{1}{x} + 4 x + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $x^{2} + \frac{1}{x} + 4 x + C$