Giải tích Ví dụ

$e^{2 x} + \frac{2}{x}$

Bước 1

Viết $e^{2 x} + \frac{2}{x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = e^{2 x} + \frac{2}{x}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int e^{2 x} + \frac{2}{x} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int e^{2 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Bước 5

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 5.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{2}{x} d x$

Bước 6

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{2}{x} d x$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{2}{x} d x$

Bước 8

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int \frac{2}{x} d x$

Bước 9

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int \frac{1}{x} d x$

Bước 10

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (\ln (| x |) + C)$

Bước 11

Rút gọn.

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 \ln (| x |) + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 \ln (| x |) + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{2 x} + \frac{2}{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 \ln (| x |) + C$