Giải tích Ví dụ

$\ln (e^{x} + x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = e^{x} + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $e^{x} + x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $e^{x} + x$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$ .

$(e^{x} + 1) \frac{1}{e^{x} + x}$

Bước 5.2

Nhân $e^{x} + 1$ với $\frac{1}{e^{x} + x}$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$