Giải tích Ví dụ

$e^{y} = \frac{x^{2}}{y}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{y})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$e^{y} y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{y (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Bước 3.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{2 \cdot y x - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2 x y - x^{2} y'}{y^{2}}$

Bước 3.4.2

Đưa $x$ ra ngoài $2 x y - x^{2} y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x y$ .

$\frac{x (2 y) - x^{2} y'}{y^{2}}$

Bước 3.4.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{2} y'$ .

$\frac{x (2 y) + x (- x y')}{y^{2}}$

Bước 3.4.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (2 y) + x (- x y')$ .

$\frac{x (2 y - x y')}{y^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$e^{y} y' = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế với $y^{2}$ .

$e^{y} y' y^{2} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{y} y' y^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn $\frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' y^{2} e^{y} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Bước 5.2.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' y^{2} e^{y} = x (2 y - x y')$

Bước 5.2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' y^{2} e^{y} = x (2 y) + x (- x y')$

Bước 5.2.2.1.3

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y + x (- x y')$

Bước 5.2.2.1.3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - x (x y')$

Bước 5.2.2.1.4

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.4.1

Di chuyển $x$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - (x \cdot x) y'$

Bước 5.2.2.1.4.2

Nhân $x$ với $x$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - x^{2} y'$

Bước 5.2.2.1.5

Di chuyển $x^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - y' x^{2}$

Bước 5.2.2.1.6

Sắp xếp lại $2 x y$ và $- y' x^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = - y' x^{2} + 2 x y$

Bước 5.3

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Cộng $y' x^{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y' y^{2} e^{y} + y' x^{2} = 2 x y$

Bước 5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $y' y^{2} e^{y} + y' x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $y' y^{2} e^{y}$ .

$y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2}) = 2 x y$

Bước 5.3.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $y' x^{2}$ .

$y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2}) = 2 x y$

Bước 5.3.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2})$ .

$y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$

Bước 5.3.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$ cho $y^{2} e^{y} + x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$ cho $y^{2} e^{y} + x^{2}$ .

$\frac{y' (y^{2} e^{y} + x^{2})}{y^{2} e^{y} + x^{2}} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

Bước 5.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2} e^{y} + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (y^{2} e^{y} + x^{2})}{y^{2} e^{y} + x^{2}} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

Bước 5.3.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$