Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}} d x$

Bước 3

Giả sử $u = 42 - 3 x$ . Sau đó $d u = - 3 d x$ , nên $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = 42 - 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $42 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [42 - 3 x]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $42 - 3 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [42] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [42] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Bước 3.1.2.2

Vì $42$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $42$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Bước 3.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Bước 3.1.3.3

Nhân $- 3$ với $1$ .

$0 - 3$

Bước 3.1.4

Trừ $3$ khỏi $0$ .

$- 3$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{3}) d u$

Bước 4.2

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Bước 4.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$\int - \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Bước 7

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 7.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 7.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 7.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 7.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $- \frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{3}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9.2.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $42 - 3 x$ .

$- \frac{2}{3} {(42 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 11

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{3} {(42 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + C$