Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0^{+}} x \ln (3 x + 4 x^{2})$

Bước 1

Viết lại $x \ln (3 x + 4 x^{2})$ ở dạng $\frac{\ln (3 x + 4 x^{2})}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (3 x + 4 x^{2})}{\frac{1}{x}}$

Bước 2

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (3 x + 4 x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Bước 2.1.2

Vì $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, nên $\ln (3 x + 4 x^{2})$ giảm không giới hạn.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Bước 2.1.3

Vì tử số là một hằng số và mẫu số tiến dần đến $0$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến vô cực.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Bước 2.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{- \infty}{\infty}$

Bước 2.2

Vì $\frac{- \infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (3 x + 4 x^{2})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 4 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 4 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 3 x + 4 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x + 4 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x + 4 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 4 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.4

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.6

Nhân $3$ với $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (3 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.7

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (3 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (3 + 4 (2 x))}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.9

Nhân $2$ với $4$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (3 + 8 x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.10.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (3 + 8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(3 + 8 x) \frac{1}{3 x + 4 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.10.2

Đưa $x$ ra ngoài $3 x + 4 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.10.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(3 + 8 x) \frac{1}{x \cdot 3 + 4 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.10.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(3 + 8 x) \frac{1}{x \cdot 3 + x (4 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.10.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 3 + x (4 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(3 + 8 x) \frac{1}{x (3 + 4 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.10.3

Nhân $3 + 8 x$ với $\frac{1}{x (3 + 4 x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3 + 8 x}{x (3 + 4 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 2.3.11

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3 + 8 x}{x (3 + 4 x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Bước 2.3.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3 + 8 x}{x (3 + 4 x)}}{- x^{- 2}}$

Bước 2.3.13

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3 + 8 x}{x (3 + 4 x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 + 8 x}{x (3 + 4 x)} (- x^{2})$

Bước 2.5

Kết hợp $\frac{3 + 8 x}{x (3 + 4 x)}$ và $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{(3 + 8 x) x^{2}}{x (3 + 4 x)}$

Bước 2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đưa $x$ ra ngoài $(3 + 8 x) x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x ((3 + 8 x) x)}{x (3 + 4 x)}$

Bước 2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x ((3 + 8 x) x)}{x (3 + 4 x)}$

Bước 2.6.2.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{(3 + 8 x) x}{3 + 4 x}$

Bước 2.7

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{(3 + 8 x) x}{3 + 4 x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (3 + 8 x)}{3 + 4 x}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (3 + 8 x)}{3 + 4 x}$

Bước 3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x (3 + 8 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 + 4 x}$

Bước 3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot lim_{x \to 0^{+}} 3 + 8 x}{lim_{x \to 0^{+}} 3 + 4 x}$

Bước 3.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (lim_{x \to 0^{+}} 3 + lim_{x \to 0^{+}} 8 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 + 4 x}$

Bước 3.5

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (3 + lim_{x \to 0^{+}} 8 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 + 4 x}$

Bước 3.6

Chuyển số hạng $8$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (3 + 8 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 + 4 x}$

Bước 3.7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (3 + 8 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 + lim_{x \to 0^{+}} 4 x}$

Bước 3.8

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (3 + 8 lim_{x \to 0^{+}} x)}{3 + lim_{x \to 0^{+}} 4 x}$

Bước 3.9

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (3 + 8 lim_{x \to 0^{+}} x)}{3 + 4 lim_{x \to 0^{+}} x}$

Bước 4

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$- \frac{0 \cdot (3 + 8 lim_{x \to 0^{+}} x)}{3 + 4 lim_{x \to 0^{+}} x}$

Bước 4.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$- \frac{0 \cdot (3 + 8 \cdot 0)}{3 + 4 lim_{x \to 0^{+}} x}$

Bước 4.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$- \frac{0 \cdot (3 + 8 \cdot 0)}{3 + 4 \cdot 0}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3 + 4 \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{0 \cdot (3 + 8 \cdot 0)}{3 + 0 \cdot 4}$

Bước 5.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $0 \cdot (3 + 8 \cdot 0)$ .

$- \frac{3 (0 \cdot (3 + 8 \cdot 0))}{3 + 0 \cdot 4}$

Bước 5.1.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$- \frac{3 (0 \cdot (3 + 8 \cdot 0))}{3 (1) + 0 \cdot 4}$

Bước 5.1.3.2

Đưa $3$ ra ngoài $0 \cdot 4$ .

$- \frac{3 (0 \cdot (3 + 8 \cdot 0))}{3 (1) + 3 (0 \cdot 4)}$

Bước 5.1.3.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (1) + 3 (0 \cdot 4)$ .

$- \frac{3 (0 \cdot (3 + 8 \cdot 0))}{3 (1 + 0 \cdot 4)}$

Bước 5.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{3 (0 \cdot (3 + 8 \cdot 0))}{3 (1 + 0 \cdot 4)}$

Bước 5.1.3.5

Viết lại biểu thức.

$- \frac{0 \cdot (3 + 8 \cdot 0)}{1 + 0 \cdot 4}$

Bước 5.2

Nhân $0$ với $3 + 8 \cdot 0$ .

$- \frac{0}{1 + 0 \cdot 4}$

Bước 5.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $0$ với $4$ .

$- \frac{0}{1 + 0}$

Bước 5.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$- \frac{0}{1}$

Bước 5.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- 0$

Bước 5.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0$