Giải tích Ví dụ

$\int \frac{2 x + 4}{x^{2} + 9} d x$

Bước 1

Tách phân số $\frac{2 x + 4}{x^{2} + 9}$ thành hai phân số.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 9} + \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{x}{x^{2} + 9} d x + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Bước 4

Giả sử $u = x^{2} + 9$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 9$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 4.1.4

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 4.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Bước 5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Bước 7.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Bước 7.3

Nhân $\int \frac{1}{u} d u$ với $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Bước 8

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Bước 9

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Bước 10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $9$ .

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x$

Bước 10.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x$

Bước 11

Tích phân của $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ .

$\ln (| u |) + C + 4 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C)$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$\ln (| u |) + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C)$

Bước 12.2

Rút gọn.

$\ln (| u |) + \frac{4 \arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 9$ .

$\ln (| x^{2} + 9 |) + \frac{4 \arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Bước 14

Sắp xếp lại các số hạng.

$\ln (| x^{2} + 9 |) + \frac{4}{3} \arctan (\frac{1}{3} x) + C$