Giải tích Ví dụ

$8 (4^{x})$

Bước 1

Viết $8 (4^{x})$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 8 (4^{x})$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 8 (4^{x}) d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$\int 2^{3} \cdot 4^{x} d x$

Bước 4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\int 2^{3} \cdot {(2^{2})}^{x} d x$

Bước 4.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 2^{3} \cdot 2^{2 x} d x$

Bước 4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 2^{3 + 2 x} d x$

Bước 5

Giả sử $u = 3 + 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 3 + 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $3 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 + 2 x]$

Bước 5.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 5.1.2.2

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Bước 5.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$0 + 2$

Bước 5.1.4

Cộng $0$ và $2$ .

$2$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int 2^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 6

Kết hợp $2^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{2^{u}}{2} d u$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int 2^{u} d u$

Bước 8

Tích phân của $2^{u}$ đối với $u$ là $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$ ở dạng $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Bước 9.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 + 2 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{3 + 2 x} + C$

Bước 11

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 8 (4^{x})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{3 + 2 x} + C$