Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{4} (\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{1}^{4} \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{4} \frac{4}{x^{2}} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Bước 3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$4 \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Bước 4.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$4 \int_{1}^{4} x^{- 2} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Bước 6

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Bước 9

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 \int_{1}^{4} x^{2} d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4})$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Bước 11.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Tính $- x^{- 1}$ tại $4$ và tại $1$ .

$4 ((- 4^{- 1}) + 1^{- 1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Bước 11.2.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $4$ và tại $1$ .

$4 (- 4^{- 1} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Bước 11.2.3

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $4$ và tại $1$ .

$4 (- 4^{- 1} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{4} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 (- \frac{1}{4} + 1) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$4 (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{- 1 + 4}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.5

Cộng $- 1$ và $4$ .

$4 (\frac{3}{4}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.6

Kết hợp $4$ và $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.7

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{12}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.8

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.8.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.8.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4 (1)} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{1} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.8.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$3 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.9

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$3 + 2 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.10

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$3 + 2 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.10.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$3 + 2 (8 - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.11

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$3 + 2 (8 - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.12

Để viết $8$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$3 + 2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.13

Kết hợp $8$ và $\frac{2}{2}$ .

$3 + 2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 + 2 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.15

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.15.1

Nhân $8$ với $2$ .

$3 + 2 \frac{16 - 1}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.15.2

Trừ $1$ khỏi $16$ .

$3 + 2 (\frac{15}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.16

Kết hợp $2$ và $\frac{15}{2}$ .

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.17

Nhân $2$ với $15$ .

$3 + \frac{30}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.18

Triệt tiêu thừa số chung của $30$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.18.1

Đưa $2$ ra ngoài $30$ .

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.18.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.18.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2 (1)} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.18.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.18.2.3

Viết lại biểu thức.

$3 + \frac{15}{1} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.18.2.4

Chia $15$ cho $1$ .

$3 + 15 - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.19

Cộng $3$ và $15$ .

$18 - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.20

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$18 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.21

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$18 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3})$

Bước 11.2.4.22

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$18 - 3 \frac{64 - 1}{3}$

Bước 11.2.4.23

Trừ $1$ khỏi $64$ .

$18 - 3 (\frac{63}{3})$

Bước 11.2.4.24

Triệt tiêu thừa số chung của $63$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.24.1

Đưa $3$ ra ngoài $63$ .

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3}$

Bước 11.2.4.24.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.24.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)}$

Bước 11.2.4.24.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1}$

Bước 11.2.4.24.2.3

Viết lại biểu thức.

$18 - 3 (\frac{21}{1})$

Bước 11.2.4.24.2.4

Chia $21$ cho $1$ .

$18 - 3 \cdot 21$

Bước 11.2.4.25

Nhân $- 3$ với $21$ .

$18 - 63$

Bước 11.2.4.26

Trừ $63$ khỏi $18$ .

$- 45$

Bước 12