Giải tích Ví dụ

$\int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{9}{x \sqrt{4 x^{2} - 4}} d x$

Bước 1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} - 4}} d x$

Bước 2

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $4 x^{2}$ ở dạng ${(2 x)}^{2}$ .

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 4}} d x$

Bước 2.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 2^{2}}} d x$

Bước 3

Tích phân của $\frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 2^{2}}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)$

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Bước 4.1.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| x |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Bước 4.1.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $arcsec (| x |)$ .

$9 (\frac{arcsec (| x |)}{2}]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Bước 4.2

Tính $\frac{arcsec (| x |)}{2}$ tại $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ và tại $- 2$ .

$9 (\frac{arcsec (| - \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{2} - \frac{arcsec (| - 2 |)}{2})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$9 \frac{arcsec (| - \frac{2 \sqrt{3}}{3} |) - arcsec (| - 2 |)}{2}$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ xấp xỉ với $- 1.15470053$ , là một số âm, nên ta làm âm $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ và loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$9 \frac{arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - arcsec (| - 2 |)}{2}$

Bước 5.2.2

Giá trị chính xác của $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ là $\frac{π}{6}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - arcsec (| - 2 |)}{2}$

Bước 5.2.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $- 2$ và $0$ là $2$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - arcsec (2)}{2}$

Bước 5.2.4

Giá trị chính xác của $arcsec (2)$ là $\frac{π}{3}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π}{3}}{2}$

Bước 5.3

Để viết $- \frac{π}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}}{2}$

Bước 5.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân $\frac{π}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}}{2}$

Bước 5.4.2

Nhân $3$ với $2$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}}{2}$

Bước 5.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$9 \frac{\frac{π - π \cdot 2}{6}}{2}$

Bước 5.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$9 \frac{\frac{π - 2 π}{6}}{2}$

Bước 5.6.2

Trừ $2 π$ khỏi $π$ .

$9 \frac{\frac{- π}{6}}{2}$

Bước 5.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$9 \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Bước 5.8

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$9 (- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2})$

Bước 5.9

Nhân $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{π}{6}$ .

$9 (- \frac{π}{2 \cdot 6})$

Bước 5.9.2

Nhân $2$ với $6$ .

$9 (- \frac{π}{12})$

Bước 5.10

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{12}$ vào tử số.

$9 \frac{- π}{12}$

Bước 5.10.2

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$3 (3) \frac{- π}{12}$

Bước 5.10.3

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$3 \cdot 3 \frac{- π}{3 \cdot 4}$

Bước 5.10.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \cdot 3 \frac{- π}{3 \cdot 4}$

Bước 5.10.5

Viết lại biểu thức.

$3 \frac{- π}{4}$

Bước 5.11

Kết hợp $3$ và $\frac{- π}{4}$ .

$\frac{3 (- π)}{4}$

Bước 5.12

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{- 3 π}{4}$

Bước 5.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3 π}{4}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{3 π}{4}$

Dạng thập phân:

$- 2.35619449 \dots$

Bước 7