Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) - \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - - \sin (x)$

Bước 1.3.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

Bước 1.3.4

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\cos (x) + \sin (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos (x) + \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Bước 4

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5.2

Viết lại biểu thức.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 6

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 7

Tách các phân số.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 8

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Bước 9

Chia $0$ cho $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Bước 10

Nhân $0$ với $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Bước 11

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\tan (x) = - 1$

Bước 12

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (- 1)$

Bước 13

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Giá trị chính xác của $\arctan (- 1)$ là $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Bước 14

Hàm tang âm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Bước 15

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Bước 15.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{4}$ dương và có cùng cạnh cuối với $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 16

Đáp án của phương trình $x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Bước 17

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - \frac{π}{4}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \sin (- \frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Bước 18

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$- \sin (\frac{7 π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Bước 18.1.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$- - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Bước 18.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Bước 18.1.4

Nhân $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Bước 18.1.4.2

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Bước 18.1.5

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{7 π}{4})$

Bước 18.1.6

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Bước 18.1.7

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 18.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Bước 18.2.2

Cộng $\sqrt{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 18.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 18.2.3.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$\sqrt{2}$

Bước 19

$x = - \frac{π}{4}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - \frac{π}{4}$ là cực tiểu địa phương

Bước 20

Tìm giá trị y khi $x = - \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{π}{4}$ trong biểu thức.

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (- \frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Bước 20.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (\frac{7 π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Bước 20.2.1.2

$f (- \frac{π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Bước 20.2.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (- \frac{π}{4})$

Bước 20.2.1.4

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{7 π}{4})$

Bước 20.2.1.5

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Bước 20.2.1.6

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 20.2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Bước 20.2.2.2

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $- \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 20.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Bước 20.2.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Bước 20.2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Bước 20.2.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Bước 20.2.2.3.2.4

Chia $- \sqrt{2}$ cho $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \sqrt{2}$

Bước 20.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Bước 21

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{3 π}{4}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Bước 22

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Bước 22.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Bước 22.1.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Bước 22.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 22.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Bước 22.2.2

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 22.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Bước 22.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Bước 22.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Bước 22.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Bước 22.2.3.2.4

Chia $- \sqrt{2}$ cho $1$ .

$- \sqrt{2}$

Bước 23

$x = \frac{3 π}{4}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{3 π}{4}$ là cực đại địa phương

Bước 24

Tìm giá trị y khi $x = \frac{3 π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{3 π}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Bước 24.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Bước 24.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{3 π}{4})$

Bước 24.2.1.3

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Bước 24.2.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 24.2.1.5

Nhân $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 24.2.1.5.2

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 24.2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Bước 24.2.2.2

Cộng $\sqrt{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 24.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 24.2.2.3.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2}$

Bước 24.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Bước 25

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{4}, - \sqrt{2})$ là một cực tiểu địa phương

$(\frac{3 π}{4}, \sqrt{2})$ là một cực đại địa phuơng

Bước 26