Giải tích Ví dụ

$\int 20 x^{3} \sec (5 x^{4} - 1) \tan (5 x^{4} - 1) d x$

Bước 1

Vì $20$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $20$ ra khỏi tích phân.

$20 \int x^{3} \sec (5 x^{4} - 1) \tan (5 x^{4} - 1) d x$

Bước 2

Giả sử $u = 5 x^{4} - 1$ . Sau đó $d u = 20 x^{3} d x$ , nên $\frac{1}{20} d u = x^{3} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 5 x^{4} - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $5 x^{4} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} - 1]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{4} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{4}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $4$ với $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$20 x^{3} + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $20 x^{3}$ và $0$ .

$20 x^{3}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$20 \int \sec (u) \tan (u) \frac{1}{20} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{20}$ và $\sec (u)$ .

$20 \int \frac{\sec (u)}{20} \tan (u) d u$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{\sec (u)}{20}$ và $\tan (u)$ .

$20 \int \frac{\sec (u) \tan (u)}{20} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{20}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{20}$ ra khỏi tích phân.

$20 (\frac{1}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{20}$ và $20$ .

$\frac{20}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{20}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u$

Bước 5.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \sec (u) \tan (u) d u$

Bước 5.3

Nhân $\int \sec (u) \tan (u) d u$ với $1$ .

$\int \sec (u) \tan (u) d u$

Bước 6

Vì đạo hàm của $\sec (u)$ là $\sec (u) \tan (u)$ , tích phân của $\sec (u) \tan (u)$ là $\sec (u)$ .

$\sec (u) + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x^{4} - 1$ .

$\sec (5 x^{4} - 1) + C$