Giải tích Ví dụ

$5 x^{3} = y^{3} - 4 y$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (5 x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{3} - 4 y)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{3}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$5 (3 x^{2})$

Bước 2.3

Nhân $3$ với $5$ .

$15 x^{2}$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{3} - 4 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Bước 3.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Bước 3.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Bước 3.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 y$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' - 4 \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$3 y^{2} y' - 4 y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$15 x^{2} = 3 y^{2} y' - 4 y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $3 y^{2} y' - 4 y' = 15 x^{2}$ .

$3 y^{2} y' - 4 y' = 15 x^{2}$

Bước 5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $3 y^{2} y' - 4 y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 4 y' = 15 x^{2}$

Bước 5.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- 4 y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 4 = 15 x^{2}$

Bước 5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 4$ .

$y' (3 y^{2} - 4) = 15 x^{2}$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (3 y^{2} - 4) = 15 x^{2}$ cho $3 y^{2} - 4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (3 y^{2} - 4) = 15 x^{2}$ cho $3 y^{2} - 4$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 4)}{3 y^{2} - 4} = \frac{15 x^{2}}{3 y^{2} - 4}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3 y^{2} - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (3 y^{2} - 4)}{3 y^{2} - 4} = \frac{15 x^{2}}{3 y^{2} - 4}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{15 x^{2}}{3 y^{2} - 4}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{15 x^{2}}{3 y^{2} - 4}$