Giải tích Ví dụ

$\int \frac{a + b x^{2}}{\sqrt{3 a x + b x^{3}}} d a$

Bước 1

Giả sử $u = 3 a x + b x^{3}$ . Sau đó $d u = 3 x d a$ , nên $\frac{1}{3 x} d u = d a$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 3 a x + b x^{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 a x + b x^{3}$ .

$\frac{d}{d a} [3 a x + b x^{3}]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 a x + b x^{3}$ đối với $a$ là $\frac{d}{d a} [3 a x] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$ .

$\frac{d}{d a} [3 a x] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d a} [3 a x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $3 x$ không đổi đối với $a$ , nên đạo hàm của $3 a x$ đối với $a$ là $3 x \frac{d}{d a} [a]$ .

$3 x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ là $n a^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 x + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $b x^{3}$ là hằng số đối với $a$ , đạo hàm của $b x^{3}$ đối với $a$ là $0$ .

$3 x + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $3 x$ và $0$ .

$3 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + b x^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để viết $b x^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + b x^{2} \cdot \frac{3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Bước 2.2

Kết hợp $b x^{2}$ và $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + \frac{b x^{2} \cdot 3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Bước 2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{- b x^{2} + b x^{2} \cdot 3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Bước 2.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $b x^{2}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{- b x^{2} + 3 \cdot (b x^{2})}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Bước 2.5

Cộng $- b x^{2}$ và $3 b x^{2}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Bước 2.6

Nhân $\frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}}$ với $\frac{3 x}{3 x}$ .

$\int \frac{3 x}{3 x} \cdot \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}} \frac{1}{3 x} d u$

Bước 2.7

Kết hợp.

$\int \frac{3 x (\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Bước 2.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{3 x \frac{u}{3 x} + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Bước 2.9

Triệt tiêu thừa số chung $3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{3 x \frac{u}{3 x} + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Bước 2.9.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{u + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Bước 2.10

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x$ .

$\int \frac{u + 3 (x) \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Bước 2.10.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{u + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Bước 2.10.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{u + x (2 b x^{2})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Bước 2.11

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{u + 2 b (x^{1} x^{2})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Bước 2.12

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{u + 2 b x^{1 + 2}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Bước 2.13

Cộng $1$ và $2$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Bước 2.14

Nhân $\frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u}}$ với $\frac{1}{3 x}$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u} (3 x)} d u$

Bước 2.15

Nhân $3$ với $3$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x \sqrt{u} x} d u$

Bước 2.16

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 (x^{1} x) \sqrt{u}} d u$

Bước 2.17

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 (x^{1} x^{1}) \sqrt{u}} d u$

Bước 2.18

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x^{1 + 1} \sqrt{u}} d u$

Bước 2.19

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x^{2} \sqrt{u}} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{9 x^{2}}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{9 x^{2}}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int \frac{u + 2 b x^{3}}{\sqrt{u}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int \frac{u + 2 b x^{3}}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 4.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 4.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 4.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Khai triển $(u + 2 b x^{3}) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.2

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.6

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.7

Sắp xếp lại $u^{\frac{1}{2}}$ và $2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{9 x^{2}} (\int 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Bước 7

Vì $2 b x^{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2 b x^{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

Bước 10.2

Rút gọn.

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} u^{\frac{1}{2}} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 a x + b x^{3}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{3}{2}}) + C$