Giải tích Ví dụ

$y = \ln (2 t^{4} e^{- t})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \ln (t)$ và $g (t) = 2 t^{4} e^{- t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 t^{4} e^{- t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 t^{4} e^{- t}$ .

$\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t^{4} e^{- t}$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$ .

$\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}} (2 \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}])$

Bước 2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}}$ .

$\frac{2}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

Bước 2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = t^{4}$ và $g (t) = e^{- t}$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = - t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- t$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- t$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Bước 5.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Bước 5.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- t}$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Bước 5.3.3

Viết lại $- 1 e^{- t}$ ở dạng $- e^{- t}$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Bước 5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t}) + e^{- t} (4 t^{3}))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t})) + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Bước 6.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp $t^{4}$ và $\frac{1}{t^{4} e^{- t}}$ .

$\frac{t^{4}}{t^{4} e^{- t}} (- e^{- t}) + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Bước 6.2.2

Kết hợp $\frac{t^{4}}{t^{4} e^{- t}}$ và $e^{- t}$ .

$- \frac{t^{4} e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Bước 6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $t^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{t^{4} e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Bước 6.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Bước 6.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Bước 6.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Bước 6.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1 + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Bước 6.2.6

Kết hợp $e^{- t}$ và $\frac{1}{t^{4} e^{- t}}$ .

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} (4 t^{3})$

Bước 6.2.7

Kết hợp $4$ và $\frac{e^{- t}}{t^{4} e^{- t}}$ .

$- 1 + \frac{4 e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} t^{3}$

Bước 6.2.8

Kết hợp $\frac{4 e^{- t}}{t^{4} e^{- t}}$ và $t^{3}$ .

$- 1 + \frac{4 e^{- t} t^{3}}{t^{4} e^{- t}}$

Bước 6.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 1 + \frac{4 e^{- t} t^{3}}{t^{4} e^{- t}}$

Bước 6.2.9.2

Viết lại biểu thức.

$- 1 + \frac{4 t^{3}}{t^{4}}$

Bước 6.2.10

Triệt tiêu thừa số chung của $t^{3}$ và $t^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.10.1

Đưa $t^{3}$ ra ngoài $4 t^{3}$ .

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{4}}$

Bước 6.2.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.10.2.1

Đưa $t^{3}$ ra ngoài $t^{4}$ .

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{3} t}$

Bước 6.2.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{3} t}$

Bước 6.2.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 + \frac{4}{t}$

Bước 6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{4}{t} - 1$