Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{2} (3 x)} d x$

Bước 3

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (3 x)}$ sang $\sec^{2} (3 x)$ .

$\int \sec^{2} (3 x) d x$

Bước 4

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 4.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \sec^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

Bước 5

Kết hợp $\sec^{2} (u)$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u)}{3} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int \sec^{2} (u) d u$

Bước 7

Vì đạo hàm của $\tan (u)$ là $\sec^{2} (u)$ , tích phân của $\sec^{2} (u)$ là $\tan (u)$ .

$\frac{1}{3} (\tan (u) + C)$

Bước 8

Rút gọn.

$\frac{1}{3} \tan (u) + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$\frac{1}{3} \tan (3 x) + C$

Bước 10

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (3 x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \tan (3 x) + C$