Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 1

Viết $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Bước 4

Giả sử $x = \tan (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\sec^{2} (t)$ dương.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 5.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 5.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sec (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Đưa $\sec (t)$ ra ngoài $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 5.2.1.2

Đưa $\sec (t)$ ra ngoài $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Bước 5.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Bước 5.2.1.4

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{\tan (t)} \sec (t) d t$

Bước 5.2.2

Kết hợp $\frac{1}{\tan (t)}$ và $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Bước 5.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Viết lại $\tan (t)$ theo sin và cosin.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Bước 5.2.3.2

Viết lại $\sec (t)$ theo sin và cosin.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Bước 5.2.3.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Bước 5.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Bước 5.2.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Bước 5.2.3.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (t)}$ sang $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) d t$

Bước 6

Tích phân của $\csc (t)$ đối với $t$ là $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arctan (x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$

Bước 8

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$