Giải tích Ví dụ

$y = 5 \sqrt{x^{2} + 9}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 9}$ ở dạng ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 3

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{2} + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 9$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Bước 4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 9$ .

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Bước 4.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Bước 4.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Bước 4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Bước 4.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Bước 4.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Bước 4.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$5 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Bước 4.7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Bước 4.7.3

Di chuyển ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$

Bước 4.7.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ và $5$ .

$\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Bước 4.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 4.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 4.10

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Bước 4.11

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Bước 4.11.2

Kết hợp $2$ và $\frac{5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x$

Bước 4.11.3

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{10}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x$

Bước 4.11.4

Kết hợp $\frac{10}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{10 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.11.5

Đưa $2$ ra ngoài $10 x$ .

$\frac{2 (5 x)}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.12

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (5 x)}{2 ({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 4.12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (5 x)}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.12.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{5 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$