Giải tích Ví dụ

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${\displaystyle x^3+1}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^3\right]+\frac{d}{dx}\left[1\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=3}$.

Vì ${\displaystyle 1}$ là hằng số đối với ${\displaystyle x}$, đạo hàm của ${\displaystyle 1}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle 0}$.

Cộng ${\displaystyle 3x^2}$ và ${\displaystyle 0}$.

Vì ${\displaystyle 3}$ không đổi đối với ${\displaystyle x}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle 3x^2}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle 3\frac{d}{dx}\left[x^2\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=2}$.

Nhân ${\displaystyle 2}$ với ${\displaystyle 3}$.

Tìm đạo hàm bậc một.

Đạo hàm bậc nhất của ${\displaystyle f\left(x\right)}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle 3x^2}$.

Cho đạo hàm bằng ${\displaystyle 0}$.

Chia mỗi số hạng trong ${\displaystyle 3x^2=0}$ cho ${\displaystyle 3}$ và rút gọn.

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

Rút gọn ${\displaystyle \pm \sqrt{0}}$.

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Chia ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị ${\displaystyle x}$ và làm cho đạo hàm bậc nhất ${\displaystyle 0}$ hoặc không xác định.

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như ${\displaystyle -2}$, từ khoảng ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ trong đạo hàm đầu tiên ${\displaystyle 3x^2}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như ${\displaystyle 2}$, từ khoảng ${\displaystyle (0,\infty )}$ trong đạo hàm đầu tiên ${\displaystyle 3x^2}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh ${\displaystyle x=0}$, nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.

Không tìm được cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương cho ${\displaystyle f\left(x\right)=x^3+1}$.