Giải tích Ví dụ

${(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = {(x - 2)}^{3}$ và $g (x) = {(x + 1)}^{4}$ .

${(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{4}] + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x + 1$ .

${(x - 2)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

${(x - 2)}^{3} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x + 1$ .

${(x - 2)}^{3} (4 {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của ${(x - 2)}^{3}$ .

$4 \cdot {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

Bước 3.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} (1 + 0) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

Bước 3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} \cdot 1 + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

Bước 3.5.2

Nhân $4$ với $1$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x - 2$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + {(x + 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + {(x + 1)}^{4} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x - 2$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + {(x + 1)}^{4} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(x + 1)}^{4}$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 \cdot {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Bước 5.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 5.4

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2} (1 + 0)$

Bước 5.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2} \cdot 1$

Bước 5.5.2

Nhân $3$ với $1$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3}$ ra ngoài $4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3}$ ra ngoài $4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3}$ .

${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (4 (x - 2)) + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2}$

Bước 6.1.2

Đưa ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3}$ ra ngoài $3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2}$ .

${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (4 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (3 (x + 1))$

Bước 6.1.3

Đưa ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3}$ ra ngoài ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (4 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (3 (x + 1))$ .

${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (4 (x - 2) + 3 (x + 1))$

Bước 6.2

Sắp xếp lại các thừa số của ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (4 (x - 2) + 3 (x + 1))$ .

${(x + 1)}^{3} {(x - 2)}^{2} (4 (x - 2) + 3 (x + 1))$