Giải tích Ví dụ

$y = \sec (x) + \tan (x)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sec (x) + \tan (x))$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sec (x) + \tan (x)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\sec (x)] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sec (x)] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d y} [\sec (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \sec (y)$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Bước 3.2.1.2

Đạo hàm của $\sec (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Bước 3.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x$ .

$\sec (x) \tan (x) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Bước 3.2.2

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d y} [\tan (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \tan (y)$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.3.1.2

Đạo hàm của $\tan (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.3.2

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = \sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x'$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x' = 1$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x' = 1$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x'$ .

$x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec^{2} (x) = 1$

Bước 5.3

Đưa $x' \sec (x)$ ra ngoài $x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $x' \sec (x)$ ra ngoài $x' \sec^{2} (x)$ .

$x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec (x) \sec (x) = 1$

Bước 5.3.2

Đưa $x' \sec (x)$ ra ngoài $x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec (x) \sec (x)$ .

$x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) = 1$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) = 1$ cho $\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) = 1$ cho $\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))$ .

$\frac{x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Bước 5.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x' (\tan (x) + \sec (x))}{\tan (x) + \sec (x)} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Bước 5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\tan (x) + \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' (\tan (x) + \sec (x))}{\tan (x) + \sec (x)} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Bước 5.4.2.2.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Tách các phân số.

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Bước 5.4.3.2

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Bước 5.4.3.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} (1 \cos (x))$

Bước 5.4.3.4

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} \cos (x)$

Bước 5.4.3.5

Kết hợp $\frac{1}{\tan (x) + \sec (x)}$ và $\cos (x)$ .

$x' = \frac{\cos (x)}{\tan (x) + \sec (x)}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\cos (x)}{\tan (x) + \sec (x)}$