Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) e^{\sin (2 x)} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \sin (2 x)$ . Sau đó $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \sin (2 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Bước 1.1.3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{lower} = \sin (2 \cdot 0)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Bước 1.3.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{4})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Bước 1.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Bước 1.5.1.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Bước 1.5.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{1} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 2

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{1}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $e^{u_{2}}$ tại $1$ và tại $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{1}) - e^{0})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (e - e^{0})$

Bước 5.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1}{2} (e - 1 \cdot 1)$

Bước 5.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (e - 1)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} e + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e$ .

$\frac{e}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Bước 6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{e}{2} + \frac{- 1}{2}$

Bước 6.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$0.85914091 \dots$