Giải tích Ví dụ

$\int (\sec (2 x) + \tan (2 x)) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int \sec (2 x) + \tan (2 x) d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \sec (2 x) d x + \int \tan (2 x) d x$

Bước 3

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 3.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \sec (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int \tan (2 x) d x$

Bước 4

Kết hợp $\sec (u_{1})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec (u_{1})}{2} d u_{1} + \int \tan (2 x) d x$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \sec (u_{1}) d u_{1} + \int \tan (2 x) d x$

Bước 6

Tích phân của $\sec (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| \sec (u_{1}) + \tan (u_{1}) |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (u_{1}) + \tan (u_{1}) |) + C) + \int \tan (2 x) d x$

Bước 7

Giả sử $u_{2} = 2 x$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 7.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 7.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (u_{1}) + \tan (u_{1}) |) + C) + \int \tan (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 8

Kết hợp $\tan (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (u_{1}) + \tan (u_{1}) |) + C) + \int \frac{\tan (u_{2})}{2} d u_{2}$

Bước 9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (u_{1}) + \tan (u_{1}) |) + C) + \frac{1}{2} \int \tan (u_{2}) d u_{2}$

Bước 10

Tích phân của $\tan (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (u_{1}) + \tan (u_{1}) |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (u_{2}) |) + C)$

Bước 11

Rút gọn.

$\frac{1}{2} \ln (| \sec (u_{1}) + \tan (u_{1}) |) + \frac{1}{2} \ln (| \sec (u_{2}) |) + C$

Bước 12

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\frac{1}{2} \ln (| \sec (2 x) + \tan (2 x) |) + \frac{1}{2} \ln (| \sec (u_{2}) |) + C$

Bước 12.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$\frac{1}{2} \ln (| \sec (2 x) + \tan (2 x) |) + \frac{1}{2} \ln (| \sec (2 x) |) + C$