Giải tích Ví dụ

$\int x^{2} \arcsin (x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \arcsin (x)$ và $d v = x^{2}$ .

$\arcsin (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$\arcsin (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Bước 2.2

Kết hợp $\arcsin (x)$ và $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

Bước 4

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Bước 5

Giả sử $x = \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\cos (t)$ dương.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 6.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Bước 6.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \sin^{3} (t) d t$

Bước 7

Đưa $\sin^{2} (t)$ ra ngoài.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Bước 8

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sin^{2} (t)$ ở dạng $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Bước 9

Giả sử $u = \cos (t)$ . Sau đó $d u = - \sin (t) d t$ , nên $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt $u = \cos (t)$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Bước 9.1.2

Đạo hàm của $\cos (t)$ đối với $t$ là $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Bước 9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int - 1 + u^{2} d u$

Bước 10

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + C + \int u^{2} d u)$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn.

$\frac{1}{3} \arcsin (x) x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Bước 13.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Bước 13.2.2

Kết hợp $\frac{\arcsin (x)}{3}$ và $x^{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Bước 13.2.3

Để viết $- \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Bước 13.2.4

Kết hợp $- \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3})$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) \cdot 3}{3} + C$

Bước 13.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) \cdot 3}{3} + C$

Bước 13.2.6

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{u^{3}}{3}) \cdot 3}{3} + C$

Bước 13.2.7

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - 3 (\frac{1}{3}) (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Bước 13.2.8

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{- 3}{3} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Bước 13.2.9

Triệt tiêu thừa số chung của $- 3$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.9.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Bước 13.2.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.9.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Bước 13.2.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Bước 13.2.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{- 1}{1} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Bước 13.2.9.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Bước 14

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (t)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \cos (t) + \frac{\cos^{3} (t)}{3})}{3} + C$

Bước 14.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \cos (\arcsin (x)) + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arcsin (x)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Do đó, $\cos (\arcsin (x))$ là $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

Bước 15.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \sqrt{1^{2} - x^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

Bước 15.1.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

Bước 15.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3}}{3} + C$

Bước 15.3

Nhân $- - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + 1 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3}}{3} + C$

Bước 15.3.2

Nhân $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ với $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3}}{3} + C$

Bước 15.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{{\sqrt{1 - x^{2}}}^{3}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{3}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.3

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{3}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.4

Viết lại ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{3}}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{3}}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.6

Viết lại ${(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}$ ở dạng ${((1 + x) (1 - x))}^{2} ((1 + x) (1 - x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.6.1

Đưa ${(1 + x)}^{2}$ ra ngoài.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{2} (1 + x) {(1 - x)}^{3}}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.6.2

Đưa ${(1 - x)}^{2}$ ra ngoài.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{2} (1 + x) ({(1 - x)}^{2} (1 - x))}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.6.3

Di chuyển $1 + x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} (1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.6.4

Viết lại ${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}$ ở dạng ${((1 + x) (1 - x))}^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{2} (1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.6.5

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{2} ((1 + x) (1 - x))}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.7

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.8

Khai triển $(1 + x) (1 - x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 (1 - x) + x (1 - x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.9

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.9.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.9.1.2

Nhân $- x$ với $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x \cdot 1 + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.9.1.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.9.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x - x \cdot x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.9.1.5

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.9.1.5.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x - (x \cdot x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.9.1.5.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x - x^{2}) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.9.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 + 0 - x^{2}) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.9.3

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x^{2}) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{1 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.11

Nhân $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ với $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.12

Đưa $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ ra ngoài $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.12.1

Nhân với $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 1 - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.12.2

Đưa $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ ra ngoài $- x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- x^{2})}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.12.3

Đưa $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ ra ngoài $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- x^{2})$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 - x^{2})}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.13

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1^{2} - x^{2})}{3}}{3} + C$

Bước 15.4.14

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

Bước 15.5

Để viết $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

Bước 15.6

Kết hợp $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3}{3} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

Bước 15.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

Bước 15.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.8.1

Đưa $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ ra ngoài $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.8.1.1

Đưa $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ ra ngoài $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3) - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

Bước 15.8.1.2

Đưa $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ ra ngoài $- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} ((- 1 (1 + x)) (1 - x))}{3}}{3} + C$

Bước 15.8.1.3

Đưa $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ ra ngoài $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} ((- 1 (1 + x)) (1 - x))$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 (1 + x)) (1 - x))}{3}}{3} + C$

Bước 15.8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 \cdot 1 - 1 x) (1 - x))}{3}}{3} + C$

Bước 15.8.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 - 1 x) (1 - x))}{3}}{3} + C$

Bước 15.8.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 - x) (1 - x))}{3}}{3} + C$

Bước 15.8.5

Khai triển $(- 1 - x) (1 - x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.8.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 (1 - x) - x (1 - x))}{3}}{3} + C$

Bước 15.8.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 \cdot 1 - 1 (- x) - x (1 - x))}{3}}{3} + C$

Bước 15.8.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 \cdot 1 - 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

Bước 15.8.6

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.8.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.8.6.1.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 - 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

Bước 15.8.6.1.2

Nhân $- 1 (- x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.8.6.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + 1 x - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

Bước 15.8.6.1.2.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

Bước 15.8.6.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - x (- x))}{3}}{3} + C$

Bước 15.8.6.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)}{3}}{3} + C$

Bước 15.8.6.1.5

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.8.6.1.5.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))}{3}}{3} + C$

Bước 15.8.6.1.5.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - 1 \cdot - 1 x^{2})}{3}}{3} + C$

Bước 15.8.6.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x + 1 x^{2})}{3}}{3} + C$

Bước 15.8.6.1.7

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x + x^{2})}{3}}{3} + C$

Bước 15.8.6.2

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + 0 + x^{2})}{3}}{3} + C$

Bước 15.8.6.3

Cộng $- 1$ và $0$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x^{2})}{3}}{3} + C$

Bước 15.8.7

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (2 + x^{2})}{3}}{3} + C$

Bước 16

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{3} (\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (2 + x^{2})}{3}) + C$