Giải tích Ví dụ

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{4} + 2 x^{2} + x$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{1}{3} x^{4} + 2 x^{2} + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- \frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{3} x^{4}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$- \frac{1}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 4}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.5

Kết hợp $\frac{- 4}{3}$ và $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{4 x^{3}}{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{4 x^{3}}{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{4 x^{3}}{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{4 x^{3}}{3} + 4 x + 1$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{4 x^{3}}{3} + 4 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{3}}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- \frac{4}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{4 x^{3}}{3}$ đối với $x$ là $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- \frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 (\frac{4}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.4

Kết hợp $- 3$ và $\frac{4}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.5

Nhân $- 3$ với $4$ .

$\frac{- 12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.6

Kết hợp $\frac{- 12}{3}$ và $x^{2}$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 12$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 12 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.7.2.4

Chia $- 4 x^{2}$ cho $1$ .

$- 4 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 4 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$- 4 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 4 x^{2} + 4 + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $- 4 x^{2} + 4$ và $0$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} + 4$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 4 x^{2} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x^{2}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2.3

Nhân $2$ với $- 4$ .

$- 8 x + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$- 8 x + 0$

Bước 3.3.2

Cộng $- 8 x$ và $0$ .

$f''' (x) = - 8 x$

Bước 4

Đạo hàm bậc ba của $f (x)$ đối với $x$ là $- 8 x$ .

$- 8 x$