Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5$

Bước 1

Tìm mọi tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1$

Bước 1.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 5$

Bước 2

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5}{x - 1}$ khi $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$

Bước 2.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(1)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$

	$1$

Bước 2.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(1)$ với số chia $(1)$ và đặt kết quả của $(1)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(4)$ .

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$
	$1$

Bước 2.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$
	$1$	$5$

Bước 2.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(5)$ với số chia $(1)$ và đặt kết quả của $(5)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(8)$ .

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$
	$1$	$5$

Bước 2.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$
	$1$	$5$	$13$

Bước 2.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(13)$ với số chia $(1)$ và đặt kết quả của $(13)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(5)$ .

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$	$13$
	$1$	$5$	$13$

Bước 2.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$	$13$
	$1$	$5$	$13$	$18$

Bước 2.9

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$1 x^{2} + 5 x + 13 + \frac{18}{x - 1}$

Bước 2.10

Rút gọn đa thức thương.

$x^{2} + 5 x + 13 + \frac{18}{x - 1}$

Bước 3

Vì $1 > 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đều dương, $1$ là một biên trên cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên trên: $1$

Bước 4

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5}{x - 5}$ khi $x = 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$

Bước 4.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(1)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$

	$1$

Bước 4.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(1)$ với số chia $(5)$ và đặt kết quả của $(5)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(4)$ .

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$
	$1$

Bước 4.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$
	$1$	$9$

Bước 4.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(9)$ với số chia $(5)$ và đặt kết quả của $(45)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(8)$ .

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$
	$1$	$9$

Bước 4.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$
	$1$	$9$	$53$

Bước 4.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(53)$ với số chia $(5)$ và đặt kết quả của $(265)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(5)$ .

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$	$265$
	$1$	$9$	$53$

Bước 4.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$	$265$
	$1$	$9$	$53$	$270$

Bước 4.9

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$1 x^{2} + 9 x + 53 + \frac{270}{x - 5}$

Bước 4.10

Rút gọn đa thức thương.

$x^{2} + 9 x + 53 + \frac{270}{x - 5}$

Bước 5

Vì $5 > 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đều dương, $5$ là một biên trên cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên trên: $5$

Bước 6

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5}{x + 5}$ khi $x = - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$

Bước 6.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(1)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$

	$1$

Bước 6.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(1)$ với số chia $(- 5)$ và đặt kết quả của $(- 5)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(4)$ .

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$
	$1$

Bước 6.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$
	$1$	$- 1$

Bước 6.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 1)$ với số chia $(- 5)$ và đặt kết quả của $(5)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(8)$ .

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$
	$1$	$- 1$

Bước 6.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$
	$1$	$- 1$	$13$

Bước 6.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(13)$ với số chia $(- 5)$ và đặt kết quả của $(- 65)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(5)$ .

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$	$- 65$
	$1$	$- 1$	$13$

Bước 6.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$	$- 65$
	$1$	$- 1$	$13$	$- 60$

Bước 6.9

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$1 x^{2} + - 1 x + 13 + \frac{- 60}{x + 5}$

Bước 6.10

Rút gọn đa thức thương.

$x^{2} - x + 13 - \frac{60}{x + 5}$

Bước 7

Vì $- 5 < 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đổi dấu, $- 5$ là một biên dưới cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên dưới: $- 5$

Bước 8

Xác định các biên trên và dưới.

Các biên trên: $1, 5$

Biên dưới: $- 5$

Bước 9