Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003)$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003) d x$

Bước 3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int x^{2} \sin (x^{3} + 2003) d x$

Bước 4

Giả sử $u = x^{3} + 2003$ . Sau đó $d u = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = x^{3} + 2003$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $x^{3} + 2003$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2003]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 2003$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2003]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2003]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2003]$

Bước 4.1.4

Vì $2003$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2003$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Bước 4.1.5

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$3 x^{2}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$3 \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Bước 5

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$\frac{3}{3} \int \sin (u) d u$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{3} \int \sin (u) d u$

Bước 7.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \sin (u) d u$

Bước 7.3

Nhân $\int \sin (u) d u$ với $1$ .

$\int \sin (u) d u$

Bước 8

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$- \cos (u) + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3} + 2003$ .

$- \cos (x^{3} + 2003) + C$

Bước 10

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003)$ .

$F (x) =$ $- \cos (x^{3} + 2003) + C$