Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 + \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- d u = \sin (x) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 + \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Bước 1.1.4

Trừ $\sin (x)$ khỏi $0$ .

$- \sin (x)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Bước 1.3.2

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{lower} = 2$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

Bước 1.5.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Bước 1.5.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Bước 1.5.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{2}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

Bước 2

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\int_{2}^{0} - \frac{1}{u} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{2}^{0} \frac{1}{u} d u$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |)]_{2}^{0})$

Bước 5

Tính $\ln (| u |)$ tại $0$ và tại $2$ .

$- (\ln (| 0 |) - \ln (| 2 |))$

Bước 6

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 0 |}{| 2 |})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $0$ là $0$ .

$- \ln (\frac{0}{| 2 |})$

Bước 7.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$- \ln (\frac{0}{2})$

Bước 7.3

Chia $0$ cho $2$ .

$- \ln (0)$

Bước 7.4

Logarit tự nhiên của 0 là không xác định.

Không xác định

$- \ln (0)$

Bước 8

Logarit tự nhiên của 0 là không xác định.

Không xác định