Giải tích Ví dụ

$\sum_{k = 1}^{20} 100 (k^{2} - 5 k + 1)$

Bước 1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$100 k^{2} + 100 (- 5 k) + 100 \cdot 1$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nhân $- 5$ với $100$ .

$100 k^{2} - 500 k + 100 \cdot 1$

Bước 1.2.2

Nhân $100$ với $1$ .

$100 k^{2} - 500 k + 100$

Bước 1.3

Viết lại tổng.

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100$

Bước 2

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100 = 100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2} - 500 \sum_{k = 1}^{20} k + \sum_{k = 1}^{20} 100$

Bước 3

Tính $100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $2$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Bước 3.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(100) (\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6})$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Cộng $20$ và $1$ .

$100 \frac{20 \cdot 21 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Bước 3.3.1.2

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Nhân $20$ với $21$ .

$100 \frac{420 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Bước 3.3.1.2.2

Nhân $2$ với $20$ .

$100 \frac{420 (40 + 1)}{6}$

Bước 3.3.1.3

Cộng $40$ và $1$ .

$100 \frac{420 \cdot 41}{6}$

Bước 3.3.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $420$ với $41$ .

$100 (\frac{17220}{6})$

Bước 3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $100$ .

$2 (50) \frac{17220}{6}$

Bước 3.3.2.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

Bước 3.3.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

Bước 3.3.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$50 (\frac{17220}{3})$

Bước 3.3.2.3

Kết hợp $50$ và $\frac{17220}{3}$ .

$\frac{50 \cdot 17220}{3}$

Bước 3.3.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.4.1

Nhân $50$ với $17220$ .

$\frac{861000}{3}$

Bước 3.3.2.4.2

Chia $861000$ cho $3$ .

$287000$

Bước 4

Tính $500 \sum_{k = 1}^{20} k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 4.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(- 500) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Cộng $20$ và $1$ .

$- 500 \frac{20 \cdot 21}{2}$

Bước 4.3.1.2

Nhân $20$ với $21$ .

$- 500 (\frac{420}{2})$

Bước 4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 500$ .

$2 (- 250) \frac{420}{2}$

Bước 4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 250 \frac{420}{2}$

Bước 4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 250 \cdot 420$

Bước 4.3.3

Nhân $- 250$ với $420$ .

$- 105000$

Bước 5

Tính $\sum_{k = 1}^{20} 100$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Công thức tính tổng của một hằng số là:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Bước 5.2

Thay các giá trị vào công thức.

$(100) (20)$

Bước 5.3

Nhân $100$ với $20$ .

$2000$

Bước 6

Cộng các kết quả của tổng.

$287000 - 105000 + 2000$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Trừ $105000$ khỏi $287000$ .

$182000 + 2000$

Bước 7.2

Cộng $182000$ và $2000$ .

$184000$