Giải tích Ví dụ

$y = \sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d y} [\sin (4 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \sin (y)$ và $g (y) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Bước 3.2.1.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Bước 3.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 x$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Bước 3.2.2

Vì $4$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $y$ là $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Bước 3.2.3

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$\cos (4 x) (4 x') + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d y} [- 8 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 8$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 8 x^{2}$ đối với $y$ là $- 8 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{2}$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Bước 3.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Bước 3.3.3

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (2 x x') + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Bước 3.3.4

Nhân $2$ với $- 8$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d y} [9 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $9$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $9 x$ đối với $y$ là $9 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [π]$

Bước 3.4.2

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x' + \frac{d}{d y} [π]$

Bước 3.5

Vì $π$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $π$ đối với $y$ là $0$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x' + 0$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Cộng $\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x'$ và $0$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x'$

Bước 3.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = 4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x'$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x' = 1$ .

$4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x' = 1$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x'$ .

$4 x' \cos (4 x) - 16 x x' + 9 x' = 1$

Bước 5.3

Đưa $x'$ ra ngoài $4 x' \cos (4 x) - 16 x x' + 9 x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $x'$ ra ngoài $4 x' \cos (4 x)$ .

$x' (4 \cos (4 x)) - 16 x x' + 9 x' = 1$

Bước 5.3.2

Đưa $x'$ ra ngoài $- 16 x x'$ .

$x' (4 \cos (4 x)) + x' (- 16 x) + 9 x' = 1$

Bước 5.3.3

Đưa $x'$ ra ngoài $9 x'$ .

$x' (4 \cos (4 x)) + x' (- 16 x) + x' \cdot 9 = 1$

Bước 5.3.4

Đưa $x'$ ra ngoài $x' (4 \cos (4 x)) + x' (- 16 x)$ .

$x' (4 \cos (4 x) - 16 x) + x' \cdot 9 = 1$

Bước 5.3.5

Đưa $x'$ ra ngoài $x' (4 \cos (4 x) - 16 x) + x' \cdot 9$ .

$x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9) = 1$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9) = 1$ cho $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9) = 1$ cho $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ .

$\frac{x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9)}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9} = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9)}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9} = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$

Bước 5.4.2.1.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$