Giải tích Ví dụ

$\int \frac{(x + 1) (x - 2)}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{(x + 1) (x - 2)}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (x + 1) (x - 2) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x + 1) (x - 2) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int (x + 1) (x - 2) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int (x + 1) (x - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4

Khai triển $(x + 1) (x - 2) x^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (x (x - 2) + 1 (x - 2)) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (x - 2)) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (x \cdot x + x \cdot - 2) x^{- \frac{1}{2}} + (1 x + 1 \cdot - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x \cdot x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + x \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} + (1 x + 1 \cdot - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x \cdot x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + x \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.7

Sắp xếp lại $x$ và $- 2$ .

$\int x \cdot x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.8

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int x^{1} x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.9

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int x^{1} x^{1} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{1 + 1} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.11

Cộng $1$ và $1$ .

$\int x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.12

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{2 - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.13

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.14

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.15

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.16

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.16.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\int x^{\frac{4 - 1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.16.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.17

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.18

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.19

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.20

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.21

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.22

Nhân $x$ với $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.23

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{1} x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.24

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.25

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.26

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.27

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.28

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.29

Cộng $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 9

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 11.2

Nhân $- 2$ với $2$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$