Giải tích Ví dụ

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z = 11$

Bước 1

Hoàn thành bình phương cho $x^{2} - 6 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Bước 1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Bước 1.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 3}{1}$

Bước 1.3.2.2.4

Chia $- 3$ cho $1$ .

$d = - 3$

Bước 1.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Bước 1.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Bước 1.4.2.1.3

Chia $36$ cho $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Bước 1.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $9$ .

$e = 0 - 9$

Bước 1.4.2.2

Trừ $9$ khỏi $0$ .

$e = - 9$

Bước 1.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(x - 3)}^{2} - 9$ .

${(x - 3)}^{2} - 9$

Bước 2

Thay ${(x - 3)}^{2} - 9$ cho $x^{2} - 6 x$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z = 11$ .

${(x - 3)}^{2} - 9 + y^{2} + z^{2} + 4 y - 2 z = 11$

Bước 3

Di chuyển $- 9$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $9$ vào cả hai vế.

${(x - 3)}^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 y - 2 z = 11 + 9$

Bước 4

Hoàn thành bình phương cho $y^{2} + 4 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Bước 4.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 4.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Bước 4.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{2}{1}$

Bước 4.3.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$d = 2$

Bước 4.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 4.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $4^{2}$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Bước 4.4.2.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Bước 4.4.2.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Bước 4.4.2.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Bước 4.4.2.1.1.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Bước 4.4.2.1.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$e = 0 - 4$

Bước 4.4.2.2

Trừ $4$ khỏi $0$ .

$e = - 4$

Bước 4.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(y + 2)}^{2} - 4$ .

${(y + 2)}^{2} - 4$

Bước 5

Thay ${(y + 2)}^{2} - 4$ cho $y^{2} + 4 y$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z = 11$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = 11 + 9$

Bước 6

Di chuyển $- 4$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $4$ vào cả hai vế.

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 11 + 9 + 4$

Bước 7

Hoàn thành bình phương cho $z^{2} - 2 z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Bước 7.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 7.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Bước 7.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 1}{1}$

Bước 7.3.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$d = - 1$

Bước 7.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 7.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Bước 7.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Bước 7.4.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Bước 7.4.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Bước 7.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$e = 0 - 1$

Bước 7.4.2.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$e = - 1$

Bước 7.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(z - 1)}^{2} - 1$ .

${(z - 1)}^{2} - 1$

Bước 8

Thay ${(z - 1)}^{2} - 1$ cho $z^{2} - 2 z$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z = 11$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} - 1 = 11 + 9 + 4$

Bước 9

Di chuyển $- 1$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $1$ vào cả hai vế.

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 11 + 9 + 4 + 1$

Bước 10

Rút gọn $11 + 9 + 4 + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Cộng $11$ và $9$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 20 + 4 + 1$

Bước 10.2

Cộng $20$ và $4$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 24 + 1$

Bước 10.3

Cộng $24$ và $1$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 25$

Bước 11