Giải tích Ví dụ

$5 x^{- \frac{1}{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{1}{2}$ .

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Bước 1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$5 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Bước 1.6.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$5 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Bước 1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Bước 1.8

Kết hợp $x^{- \frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$5 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Bước 1.9

Nhân $- 1$ với $5$ .

$- 5 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Bước 1.10

Kết hợp $- 5$ và $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 5 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Bước 1.11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.1

Di chuyển $x^{- \frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1.11.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- \frac{5}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ đối với $x$ là $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 2.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Bước 2.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Bước 2.2.2.2

Nhân $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $- 1$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Bước 2.2.2.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{2}}]$

Bước 2.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{3}{2}$ .

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Bước 2.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 2.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Bước 2.7.2

Trừ $2$ khỏi $- 3$ .

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Bước 2.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Bước 2.9

Kết hợp $x^{- \frac{5}{2}}$ và $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{5}{2} (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Bước 2.10

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{5}{2}) \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Bước 2.10.2

Nhân $\frac{5}{2}$ với $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Bước 2.11

Nhân $\frac{5}{2}$ với $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$\frac{5 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2 \cdot 2}$

Bước 2.12

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{15 x^{- \frac{5}{2}}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.12.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{15 x^{- \frac{5}{2}}}{4}$

Bước 2.12.3

Di chuyển $x^{- \frac{5}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{15}{4 x^{\frac{5}{2}}}$