Giải tích Ví dụ

$\int_{- 2}^{1} (4 x^{3} + 5 x^{2} - x + 1) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{- 2}^{1} 4 x^{3} + 5 x^{2} - x + 1 d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 2}^{1} 4 x^{3} d x + \int_{- 2}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Bước 3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{- 2}^{1} x^{3} d x + \int_{- 2}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Bước 6

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 \int_{- 2}^{1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} d x$

Bước 11

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} d x$

Bước 12

Áp dụng quy tắc hằng số.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1}$

Bước 13

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính $\frac{x^{4}}{4}$ tại $1$ và tại $- 2$ .

$4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1}$

Bước 13.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $1$ và tại $- 2$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1}$

Bước 13.3

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $1$ và tại $- 2$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + x]_{- 2}^{1}$

Bước 13.4

Tính $x$ tại $1$ và tại $- 2$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $4$ .

$4 (\frac{1}{4} - \frac{16}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.3

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 (\frac{1}{4} - \frac{4}{1}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.3.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$4 (\frac{1}{4} - 1 \cdot 4) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$4 (\frac{1}{4} - 4) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.5

Để viết $- 4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.6

Kết hợp $- 4$ và $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{1 - 4 \cdot 4}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.8.1

Nhân $- 4$ với $4$ .

$4 \frac{1 - 16}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.8.2

Trừ $16$ khỏi $1$ .

$4 (\frac{- 15}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 (- \frac{15}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.10

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 (\frac{15}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.11

Kết hợp $- 4$ và $\frac{15}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 15}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.12

Nhân $- 4$ với $15$ .

$\frac{- 60}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.13

Triệt tiêu thừa số chung của $- 60$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.13.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 60$ .

$\frac{4 \cdot - 15}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.13.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 \cdot - 15}{4 (1)} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot - 15}{4 \cdot 1} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 15}{1} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.13.2.4

Chia $- 15$ cho $1$ .

$- 15 + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.14

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.15

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.16

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.17

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.18

Nhân $\frac{8}{3}$ với $1$ .

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.19

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 15 + 5 \frac{1 + 8}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.20

Cộng $1$ và $8$ .

$- 15 + 5 (\frac{9}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.21

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.21.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$- 15 + 5 \frac{3 \cdot 3}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.21.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.21.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$- 15 + 5 \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.21.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 15 + 5 \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.21.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 15 + 5 (\frac{3}{1}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.21.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$- 15 + 5 \cdot 3 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.22

Nhân $5$ với $3$ .

$- 15 + 15 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.23

Cộng $- 15$ và $15$ .

$0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.24

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.25

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.26

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.26.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.26.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.26.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 1 + 2$

Bước 13.5.26.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 1 + 2$

Bước 13.5.26.2.3

Viết lại biểu thức.

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{2}{1}) + 1 + 2$

Bước 13.5.26.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2) + 1 + 2$

Bước 13.5.27

Nhân $- 1$ với $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 2) + 1 + 2$

Bước 13.5.28

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.29

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.30

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$0 - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} + 1 + 2$

Bước 13.5.31

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.31.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$0 - \frac{1 - 4}{2} + 1 + 2$

Bước 13.5.31.2

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$0 - \frac{- 3}{2} + 1 + 2$

Bước 13.5.32

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0 - - \frac{3}{2} + 1 + 2$

Bước 13.5.33

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{3}{2}) + 1 + 2$

Bước 13.5.34

Nhân $\frac{3}{2}$ với $1$ .

$0 + \frac{3}{2} + 1 + 2$

Bước 13.5.35

Cộng $0$ và $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} + 1 + 2$

Bước 13.5.36

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{3}{2} + 3$

Bước 13.5.37

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 13.5.38

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Bước 13.5.39

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 + 3 \cdot 2}{2}$

Bước 13.5.40

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.40.1

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{3 + 6}{2}$

Bước 13.5.40.2

Cộng $3$ và $6$ .

$\frac{9}{2}$

Bước 14

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{9}{2}$

Dạng thập phân:

$4.5$

Dạng hỗn số:

$4 \frac{1}{2}$

Bước 15