Giải tích Ví dụ

$2 x^{3} + 2 y^{2} + 5 y = 0$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} + 2 y^{2} + 5 y) = \frac{d}{d x} (0)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{3} + 2 y^{2} + 5 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Bước 2.2.3

Nhân $3$ với $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 y^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$6 x^{2} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Bước 2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 x^{2} + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$6 x^{2} + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Bước 2.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$6 x^{2} + 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [5 y]$

Bước 2.3.4

Nhân $2$ với $2$ .

$6 x^{2} + 4 y y' + \frac{d}{d x} [5 y]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 y$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 x^{2} + 4 y y' + 5 \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.4.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$6 x^{2} + 4 y y' + 5 y'$

Bước 3

Vì $0$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$6 x^{2} + 4 y y' + 5 y' = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $6 x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 y y' + 5 y' = - 6 x^{2}$

Bước 5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $4 y y' + 5 y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $4 y y'$ .

$y' (4 y) + 5 y' = - 6 x^{2}$

Bước 5.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $5 y'$ .

$y' (4 y) + y' \cdot 5 = - 6 x^{2}$

Bước 5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (4 y) + y' \cdot 5$ .

$y' (4 y + 5) = - 6 x^{2}$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (4 y + 5) = - 6 x^{2}$ cho $4 y + 5$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (4 y + 5) = - 6 x^{2}$ cho $4 y + 5$ .

$\frac{y' (4 y + 5)}{4 y + 5} = \frac{- 6 x^{2}}{4 y + 5}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4 y + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (4 y + 5)}{4 y + 5} = \frac{- 6 x^{2}}{4 y + 5}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 6 x^{2}}{4 y + 5}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{4 y + 5}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 y + 5}$