Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{9} (2 x + \frac{1}{x}) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{1}^{9} 2 x + \frac{1}{x} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{9} 2 x d x + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{1}^{9} x d x + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9}) + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{9}) + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Bước 6

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{9}) + \ln (| x |)]_{1}^{9}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $9$ và tại $1$ .

$2 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + \ln (| x |)]_{1}^{9}$

Bước 7.1.2

Tính $\ln (| x |)$ tại $9$ và tại $1$ .

$2 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 7.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Nâng $9$ lên lũy thừa $2$ .

$2 (\frac{81}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 7.1.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 (\frac{81}{2} - \frac{1}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 7.1.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \frac{81 - 1}{2} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 7.1.3.4

Trừ $1$ khỏi $81$ .

$2 (\frac{80}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 7.1.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $80$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $80$ .

$2 \frac{2 \cdot 40}{2} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 7.1.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 40}{2 (1)} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 7.1.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{2 \cdot 40}{2 \cdot 1} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 7.1.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{40}{1}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 7.1.3.5.2.4

Chia $40$ cho $1$ .

$2 \cdot 40 + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 7.1.3.6

Nhân $2$ với $40$ .

$80 + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 7.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$80 + \ln (\frac{| 9 |}{| 1 |})$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $9$ là $9$ .

$80 + \ln (\frac{9}{| 1 |})$

Bước 7.3.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$80 + \ln (\frac{9}{1})$

Bước 7.3.3

Chia $9$ cho $1$ .

$80 + \ln (9)$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$80 + \ln (9)$

Dạng thập phân:

$82.19722457 \dots$

Bước 9