Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} (8 z + 4 z^{3} - 6 z^{2}) d z$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{0}^{2} 8 z + 4 z^{3} - 6 z^{2} d z$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{2} 8 z d z + \int_{0}^{2} 4 z^{3} d z + \int_{0}^{2} - 6 z^{2} d z$

Bước 3

Vì $8$ không đổi đối với $z$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$8 \int_{0}^{2} z d z + \int_{0}^{2} 4 z^{3} d z + \int_{0}^{2} - 6 z^{2} d z$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $z$ đối với $z$ là $\frac{1}{2} z^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 z^{3} d z + \int_{0}^{2} - 6 z^{2} d z$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $z^{2}$ .

$8 (\frac{z^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 z^{3} d z + \int_{0}^{2} - 6 z^{2} d z$

Bước 6

Vì $4$ không đổi đối với $z$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$8 (\frac{z^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 4 \int_{0}^{2} z^{3} d z + \int_{0}^{2} - 6 z^{2} d z$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $z^{3}$ đối với $z$ là $\frac{1}{4} z^{4}$ .

$8 (\frac{z^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{1}{4} z^{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 6 z^{2} d z$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $z^{4}$ .

$8 (\frac{z^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{z^{4}}{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 6 z^{2} d z$

Bước 9

Vì $- 6$ không đổi đối với $z$ , hãy di chuyển $- 6$ ra khỏi tích phân.

$8 (\frac{z^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{z^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 \int_{0}^{2} z^{2} d z$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $z^{2}$ đối với $z$ là $\frac{1}{3} z^{3}$ .

$8 (\frac{z^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{z^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{1}{3} z^{3}]_{0}^{2})$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $z^{3}$ .

$8 (\frac{z^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{z^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{2})$

Bước 11.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Tính $\frac{z^{2}}{2}$ tại $2$ và tại $0$ .

$8 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{z^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{2})$

Bước 11.2.2

Tính $\frac{z^{4}}{4}$ tại $2$ và tại $0$ .

$8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{2})$

Bước 11.2.3

Tính $\frac{z^{3}}{3}$ tại $2$ và tại $0$ .

$8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$8 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$8 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$8 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$8 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$8 (2 - \frac{0^{2}}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$8 (2 - \frac{0}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.4

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$8 (2 - \frac{2 (0)}{2}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$8 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$8 (2 - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.4.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$8 (2 - 0) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$8 (2 + 0) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.6

Cộng $2$ và $0$ .

$8 \cdot 2 + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.7

Nhân $8$ với $2$ .

$16 + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.8

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$16 + 4 (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.9

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.9.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$16 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.9.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$16 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$16 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$16 + 4 (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.9.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$16 + 4 (4 - \frac{0^{4}}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.10

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$16 + 4 (4 - \frac{0}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.11

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.11.1

Đưa $4$ ra ngoài $0$ .

$16 + 4 (4 - \frac{4 (0)}{4}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.11.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$16 + 4 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$16 + 4 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$16 + 4 (4 - \frac{0}{1}) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.11.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$16 + 4 (4 - 0) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.12

Nhân $- 1$ với $0$ .

$16 + 4 (4 + 0) - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.13

Cộng $4$ và $0$ .

$16 + 4 \cdot 4 - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.14

Nhân $4$ với $4$ .

$16 + 16 - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.15

Cộng $16$ và $16$ .

$32 - 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.16

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$32 - 6 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Bước 11.2.4.17

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$32 - 6 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3})$

Bước 11.2.4.18

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.18.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$32 - 6 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Bước 11.2.4.18.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.18.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$32 - 6 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Bước 11.2.4.18.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$32 - 6 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Bước 11.2.4.18.2.3

Viết lại biểu thức.

$32 - 6 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1})$

Bước 11.2.4.18.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$32 - 6 (\frac{8}{3} - 0)$

Bước 11.2.4.19

Nhân $- 1$ với $0$ .

$32 - 6 (\frac{8}{3} + 0)$

Bước 11.2.4.20

Cộng $\frac{8}{3}$ và $0$ .

$32 - 6 (\frac{8}{3})$

Bước 11.2.4.21

Kết hợp $- 6$ và $\frac{8}{3}$ .

$32 + \frac{- 6 \cdot 8}{3}$

Bước 11.2.4.22

Nhân $- 6$ với $8$ .

$32 + \frac{- 48}{3}$

Bước 11.2.4.23

Triệt tiêu thừa số chung của $- 48$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.23.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 48$ .

$32 + \frac{3 \cdot - 16}{3}$

Bước 11.2.4.23.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.23.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$32 + \frac{3 \cdot - 16}{3 (1)}$

Bước 11.2.4.23.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$32 + \frac{3 \cdot - 16}{3 \cdot 1}$

Bước 11.2.4.23.2.3

Viết lại biểu thức.

$32 + \frac{- 16}{1}$

Bước 11.2.4.23.2.4

Chia $- 16$ cho $1$ .

$32 - 16$

Bước 11.2.4.24

Trừ $16$ khỏi $32$ .

$16$

Bước 12