Giải tích Ví dụ

$\sqrt[4]{x^{3} + 4 x^{2} + 7}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{x^{3} + 4 x^{2} + 7}$ ở dạng ${(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ và $g (x) = x^{3} + 4 x^{2} + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{3} + 4 x^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3} + 4 x^{2} + 7$ .

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Bước 6.2

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và ${(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{{(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Bước 7.3

Di chuyển ${(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{- \frac{3}{4}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 4 x^{2} + 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Bước 10

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [7])$

Bước 12

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [7])$

Bước 13

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 8 x + 0)$

Bước 14

Cộng $3 x^{2} + 8 x$ và $0$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 8 x)$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 8 x)$ .

$(3 x^{2} + 8 x) \frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$

Bước 15.2

Nhân $3 x^{2} + 8 x$ với $\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{3 x^{2} + 8 x}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$

Bước 15.3

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2} + 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) + 8 x}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$

Bước 15.3.2

Đưa $x$ ra ngoài $8 x$ .

$\frac{x (3 x) + x \cdot 8}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$

Bước 15.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (3 x) + x \cdot 8$ .

$\frac{x (3 x + 8)}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$